\section{线性变换的矩阵}

\begin{frame}{本节概要}
  \begin{enumerate}
    \item 一个线性变换被其在基上的限制决定了，换句话，若两个线性变换在一组基上的限制相等，则这两个线性映射相等。
      另一方面，基上的映射唯一地延拓为一个线性变换。
    \item 我们会谈到线性变换在给定基下的矩阵。这是基中向量的像的坐标向量按列的方式拼成的。
    \item 取定$n$维线性空间$V$的一组基时，$V$上的线性变换与其在给定基下的矩阵实际上
      给出了$V$上线性变换与$n$阶矩阵的一一对应。
      而且，这个对应保持加法、数乘、乘法、负 (加法逆) 、(乘法) 逆，即
线性变换的和对应于矩阵的和、线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积、
线性变换的乘积对应于矩阵的乘积、  线性变换的负变换对应于矩阵的负矩阵、
可逆的线性变换与可逆矩阵对应且逆变换对应于逆矩阵。
\item 基变换 (基$\symbb{B}$到 基$\symbb{B}'=\symbb{B}Q$) 时，
  一线性变换在旧基$\symbb{B}$下的矩阵$A$和在新基$\symbb{B}'$下的矩阵$A'$
  的联系是$A'=Q^{-1}AQ$.
\item 由此我们引入矩阵的相似的概念。我们期望在合适的基下，线性变换的矩阵比较简单，
  从而便于计算。从矩阵的角度看就是通过相似变换把一个方阵变成简单点的形式。
  后面几节我们会讨论矩阵可能相似到的一些特别的形状的矩阵。
  \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{线性变换与基上的映射}
  设 $V$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间， $\symbb{B} =(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n})$ 是 $V$ 的一组基。

  \begin{observation*}
    给定$\sA, \sB\in \End(V)$, 若$\sA|_{\symbb{B}}=\sB|_{\symbb{B}}\colon \symbb{B} \rightarrow V$, 即对任意的$\varepsilon_i\in \symbb{B}$有$\sA(\varepsilon_i)=\sB(\varepsilon_i)$,
        那么$\sA=\sB$.  换句话说，一个线性变换被它在一组基上的作用决定了。
  \end{observation*}
  \begin{proof}
      任一$\xi\in V$ 可用$\symbb{B}$线性表出：$\xi=\sum_{i=1}^n x_i \varepsilon_i$.
        由$\sA, \sB$的线性性及$\sA|_{\symbb{B}}=\sB|_{\symbb{B}}$ 知
        \begin{align*}
          \sA(\xi)&= \sA\left( \sum_{i=1}^n x_i \varepsilon_i \right) = \sum_{i=1}^n x_i \sA(\varepsilon_i) 
          =  \sum_{i=1}^n x_i \sB(\varepsilon_i) \\
          &=   \sB\left( \sum_{i=1}^n x_i \varepsilon_i \right)
          = \sB(\xi). 
        \end{align*}
        这就证明了$\sA=\sB$.
  \end{proof}

  \begin{theorem}
    给定$\alpha_1, \cdots, \alpha_n\in V$, 
    存在唯一的$\sA\in \End(V)$使得$\sA(\varepsilon_i)=\alpha_i$.
    换句话说，基上的映射$\varepsilon_i\mapsto \alpha_i$唯一地延拓为一线性变换。
  \end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}

  \begin{proof}
    唯一性由刚才的观察可知。若所要求的线性变换$\sA$真存在，
      则对$\xi=\sum_{i=1}^n x_i \varepsilon_i\in V$有
        \[
          \sA(\xi)=\sA\left( \sum_{i=1}^n x_i \varepsilon_i \right) = \sum_{i=1}^n x_i\sA(\varepsilon_i) = \sum_{i=1}^n x_i\alpha_i.
        \]
        既如此，要得到$\sA$的存在性，我们就定义
        \[\tag{4}
        \sA\colon V\rightarrow V, \quad\xi\mapsto\sum_{i=1}^n x_i\alpha_i \;(\text{若~}\xi=\sum_{i=1}^n x_i \varepsilon_i);
        \]
        由于$\xi$在$\symbb{B}$下的坐标$(x_1,\cdots,x_n)$唯一确定，这是个良好定义的映射。
        而且，对每个$\varepsilon_i$有
        \[
          \sA(\varepsilon_i)=\sA(0\cdot \varepsilon_1+ \cdots + 1\cdot \varepsilon_i+\cdots + 0\cdot \varepsilon_n)= \alpha_i.
        \]
        为了说明 $\mathscr{A}$ 是线性变换，
        任取 $V$ 中两个向量
\(
 \beta=\sum_{i=1}^{n} b_{i}  \varepsilon_{i}, \gamma=\sum_{i=1}^{n} c_{i}  \varepsilon_{i}
\)
和 $k\in P$,
则
\[
  \begin{aligned}
 \beta+ \gamma&= \sum_{i=1}^{n}\left(b_{i}+c_{i}\right)  \varepsilon_{i}, \quad 
 k  \beta=\sum_{i=1}^{n} k b_{i}  \varepsilon_{i}, \quad \text{进而按 (4) 有}\\
  \mathscr{A}( \beta+ \gamma) & =\sum_{i=1}^{n}\left(b_{i}+c_{i}\right)  \alpha_{i}=\sum_{i=1}^{n} b_{i}  \alpha_{i}+\sum_{i=1}^{n} c_{i}  \alpha_{i}=\mathscr{A}  \beta+\mathscr{A}  \gamma, \\
\mathscr{A}(k  \beta) & =\sum_{i=1}^{n} k b_{i}  \alpha_{i}=k \sum_{i=1}^{n} b_{i}  \alpha_{i}=k \mathscr{A}  \beta .
\end{aligned}
\]
  \end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}{线性变换在给定基下的矩阵}
  为了下面讨论的方便，我们引入记号：对$V$中向量组$S=(\alpha_1, \cdots, \alpha_s)$,
  \[
    \sA(S)\coloneq (\sA\alpha_1, \cdots, \sA\alpha_s).
  \]
  那么，对$V$中向量组$S=(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)$和列向量$X=(x_1,\cdots,x_s)^{\rT}\in P^{(s)}$,
线性变换$\sA$保持线性组合表明
\[
  \sA(SX)=\sA\left(\sum_{i=1}^s x_i \alpha_i\right)=\sum_{i=1}^s x_i \sA(\alpha_i) = \sA(S)X.
\]
更一般地，给定数字矩阵$A\in P^{s\times r}$, 设$A$按列分块为
\[
  A=\begin{pmatrix}
  A_1 & \cdots & A_r
\end{pmatrix},
\]
那么
\[
\begin{aligned}
  \sA(SA)&= \sA\left( SA_1, \cdots, SA_r \right) = (\sA(SA_1), \cdots, \sA(SA_r)) \\
  &=  (\sA(S)A_1,\cdots, \sA(S)A_r)=\sA(S)A.
\end{aligned}
\]
也就是说，对任意的向量组$S$和可以乘的数字矩阵$A$我们有
\[
  \sA(SA)=\sA(S)A.
\]


现在我们来建立线性变换与矩阵的联系。
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{definition}
设 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基， $\mathscr{A}$ 是 $V$ 中的一个线性变换。 基向量的像可以经基线性表出，即

\[
  \left\{\begin{aligned}
        \mathscr{A} \varepsilon_{1}= & a_{11} \varepsilon_{1}+a_{21} \varepsilon_{2}+\cdots+a_{n 1} \varepsilon_{n}, \\
        \mathscr{A} \varepsilon_{2}= & a_{12} \varepsilon_{1}+a_{22} \varepsilon_{2}+\cdots+a_{n 2} \varepsilon_{n}, \\
      & \vdots \\
    \mathscr{A} \varepsilon_{n}= & a_{1 n} \varepsilon_{1}+a_{2 n} \varepsilon_{2}+\cdots+a_{n n} \varepsilon_{n} .
\end{aligned}\right.
\]
用矩阵来表示就是
\[\tag{5}
  \mathscr{A}\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)\coloneq
  \left(\mathscr{A} \varepsilon_{1}, \mathscr{A} \varepsilon_{2}, \cdots, \mathscr{A} \varepsilon_{n}\right)=
  \left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right) A,
\]
其中
\[
  A=\begin{pmatrix}
        a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
        a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
      \vdots & \vdots & & \vdots \\
    a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{pmatrix} .
\]
矩阵 $ A$ 称为 \emph{$\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的矩阵} (the matrix of the transformation $\sA$ with respect to the basis)。
\end{definition}


\end{frame}

\begin{frame}

  \begin{example}\label{016}
  令$A\in P^{n\times n}$. $A$左乘和右乘分别诱导了线性变换
    \[
      \begin{aligned}
        \sA_1&= A\cdot \colon P^{(n)}\rightarrow P^{(n)}, \quad X\mapsto AX,\\
        \sA_2&= \cdot A\colon P^n\rightarrow P^n, \quad X\mapsto XA.
      \end{aligned}
  \]
  容易发现$\sA_1, \sA_2$在自然基下的矩阵分别是$A, A^{\rT}$. 
  后面我们用到$\sA_1$时简单地把$\sA_1$写作$A$.
\end{example}

\begin{example}
设 $ \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{m}$ 是 $n$ ($n>m$) 维线性空间 $V$ 的子空间 $W$ 的一组基，把它扩充为 $V$ 的一组基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$. 定义线性变换 $\mathscr{A}$ 如下：
\[
  \begin{cases}\mathscr{A}  \varepsilon_{i}= \varepsilon_{i}, & i=1,2, \cdots, m, \\ \mathscr{A}  \varepsilon_{i}=\symbf{0}, & i=m+1, \cdots, n .\end{cases}
  \]
  如此确定的线性变换 $\mathscr{A}$ 称为对子空间 $W$ 的一个\emph{投影} (projection)。不难证明
\[
\mathscr{A}^{2}=\mathscr{A},
\]
投影 $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的矩阵是$\begin{pmatrix}
  E_m \\ & 0
\end{pmatrix}$.

%, 即
%\[
%  \vcenter{\hbox{
% \begin{tikzpicture}[ampersand replacement=\&]
%   \matrix (a) [matrix of math nodes,left delimiter=(,right delimiter=)] {
%     1 \&\&\&\&\&\\ 
%     \& \ddots \&\&\&\& \\ 
%     \& \& 1 \&\&\& \\ 
%     \& \& \& 0 \&\&\\ 
%     \&\&\&\& \ddots \&\\ 
%     \&\&\&\&\& 0 \\
%   };
%   \draw [decorate, thick, decoration={brace, raise=2pt} ]
%    ([xshift=2pt]a-1-1.north east) -- node[above,xshift=20pt] {$m$个$1$} ([xshift=2pt]a-3-3.north east);
% \end{tikzpicture}
% }}.
%\]
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}%{像的坐标向量}
  若记$\symbb{B}=(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n)$, 则$\sA$在基$\symbb{B}$下的矩阵$A$由公式
  \[
    \sA(\symbb{B})=\symbb{B} A
  \]
  确定。
利用线性变换的矩阵可以直接计算一个向量的像。
设%线性变换$\sA$在基 $\symbb{B}=(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$) 下的矩阵是 $ A$, 
向量 $\xi$ 在基 $\symbb{B}$ 下的坐标是 $X$, 则 
  \[
    \sA(\xi)=\sA(\symbb{B} X)=\sA(\symbb{B})X=(\symbb{B} A)X=\symbb{B}(AX).
    \]
    因此，
    $\mathscr{A}  \xi$ 在基 $\symbb{B}$ 下的坐标为$AX$.

      ~

  给定$n$维线性空间$V$的一组基$\symbb{B} $, 我们有线性同构
  \[
    \psi\colon P^{(n)}\rightarrow V,\quad X\mapsto \symbb{B}  X.
  \]
  线性变换$\sA\in \End(V)$与在基$\symbb{B} $下的矩阵$A$的关系可用下面的交换图表示：
  \[
    \vcenter{\hbox{
        \begin{tikzcd}[ampersand replacement=\&]
          P^{(n)}\ar[r, "A"] \ar[d,"\psi"'] \& P^{(n)} \ar[d,"\psi"] \\
          V\ar[r, "\sA"]  \& V
      \end{tikzcd}
      \hskip 3em
        \begin{tikzcd}[ampersand replacement=\&]
          X \ar[r, mapsto] \ar[d, mapsto] \& AX \ar[d, mapsto] \\
          \symbb{B} X\ar[r, mapsto] \& \symbb{B} AX
      \end{tikzcd}
    }
    }
  \]
  此图交换指我们有$\sA\circ \psi = \psi\circ A$. 由于$\psi$是双射，我们有
  \[\tag{6}
    \sA=\psi\circ A\circ \psi^{-1}, \quad A=\psi^{-1}\circ \sA \circ \psi.
  \]
\end{frame}



\begin{frame}{线性变换与方阵的对应}
这样，在取定一组基$\symbb{B} $之后，
我们就建立了由数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换
到数域 $P$ 上的 $n \times n$ 矩阵的一个对应：
\[
  \rho_{\symbb{B}}\colon \End(V)\rightarrow P^{n\times n}, \quad \sA\mapsto A.
\]
之前关于从基上映射延拓得到的线性变换的存在性与唯一性（或由(6)）告诉我们$\rho_{\symbb{B}}$既是单射又是满射。 
换句话说，我们建立了$V$上线性变换与$n$阶矩阵之间的一个双射。 
这个对应的重要性表现在它保持运算，即有
\begin{theorem}\label{19F}
  设 $\symbb{B}=(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n})$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基，
  在这组基下， 按公式 (5) 我们有个一一对应 
  \[
    \rho_{\symbb{B}}\colon \End(V)\rightarrow P^{n\times n}.
\]
  这个对应具有以下的性质：
\begin{enumerate}
  \item 线性变换的和对应于矩阵的和，即$\rho_{\symbb{B}}(\sA+\sB)=\rho_{\symbb{B}}(\sA)+\rho_{\symbb{B}}(\sB)$.

  \item 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积，即$\rho_{\symbb{B}}(\sA\sB)=\rho_{\symbb{B}}(\sA)\rho_{\symbb{B}}(\sB)$.

  \item 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积，即$\rho_{\symbb{B}}(k\sA)=k\rho_{\symbb{B}}(\sA)$.

  \item 可逆的线性变换与可逆矩阵对应， 且逆变换对应于逆矩阵，即$\rho_{\symbb{B}}(\sA^{-1})=\rho_{\symbb{B}}(\sA)^{-1}$.
      \end{enumerate}
    \end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}
  此定理说明数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的全部线性变换组成的集合 $L(V)=\End(V)$ 
  对于线性变换的加法与数量乘法构成 $P$ 上一个线性空间， 
  与数域 $P$ 上 $n$ 阶方阵构成的线性空间 $P^{n \times n}$ 同构\footnote{实际上，$\End(V)$和$P^{n\times n}$作为$P$-代数同构。}。
\begin{proof}
  设 $\mathscr{A}, \mathscr{B}$ 是两个线性变换， 它们在基 $\symbb{B}$ 下的矩阵分别是 $ A,  B$, 即
\[
  \sA(\symbb{B})=\symbb{B} A,\quad \sB(\symbb{B})=\symbb{B} B.
  %\begin{aligned}
%& \mathscr{A}\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right) A, \\
%& \mathscr{B}\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right) B .
%\end{aligned}
\]

\begin{enumerate}
  \item 由
\begin{align*}
  (\sA+\sB)(\symbb{B})=\sA(\symbb{B})+\sB(\symbb{B})=\symbb{B} A+\symbb{B} B=\symbb{B}(A+B).
%  (\mathscr{A}+\mathscr{B})\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)&= \mathscr{A}\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)+\mathscr{B}\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right) \\
%  &=  \left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right) A+\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right) B\\
%  &= \left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)( A+ B)
\end{align*}
可知，在基 $\symbb{B}$
%$\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 
下， 线性变换 $\mathscr{A}+\mathscr{B}$ 的矩阵是 $ A+ B$.
(自己验证下 $(\sA+\sB)(\symbb{B})=\sA(\symbb{B})+\sB(\symbb{B})$.)
  \item 我们讲过$\sA$的线性性表明：对$V$中向量组$S$和可乘的数字矩阵$A$有$\sA(SA)=\sA(S)A$, 这是因为线性变换保持线性组合。
    这样，
\[
\begin{aligned}
  %(\mathscr{A} \mathscr{B})(\symbb{B})
%= & \mathscr{A}\left(\symbb{B}\right)=\mathscr{A}\left(\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)  B\right) \\
%= & \left(\sA\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)\right) B=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right) A B .
  (\sA\sB)(\symbb{B})=\sA(\sB(\symbb{B}))=\sA(\symbb{B} B)=\sA(\symbb{B})B=(\symbb{B} A)B=\symbb{B} (AB).
\end{aligned}
\]
因此，在基 $\symbb{B}$
%$\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 
下， 线性变换 $\mathscr{A} \mathscr{B}$ 的矩阵是 $A B$.
(自己验证下 $ (\sA\sB)(\symbb{B})=\sA(\sB(\symbb{B}))$.)
\end{enumerate}
\end{proof}


\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{2}
  \item 令$\sK \in \End(V)$由乘数$k\in P$定义。那么
因为
\[
  \sK(\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n)=\left(k \varepsilon_{1}, k  \varepsilon_{2}, \cdots, k  \varepsilon_{n}\right)=\left(\varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}\right) k  E,
\]
所以数乘变换 $\mathscr{K}$ 在任何一组基下都对应于数量矩阵 $k  E$. 
由此可知， 数量乘积 $k \mathscr{A}$ 对应于矩阵的数量乘积 $k  A$.

  \item 单位变换对应于单位矩阵，因之等式
\[
  \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B A}=\mathscr{E}\quad
  \text{与}\quad
   A  B= B A= E
\]
相对应， 从而可逆线性变换与可逆矩阵对应，而且逆变换与逆矩阵对应。 
    \end{enumerate}
\end{proof}


\end{frame}

\begin{frame}{线性变换在两组基下的矩阵的联系}
线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的。一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵。
为了利用矩阵来研究线性变换，我们有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的。

\begin{theorem}
设线性空间 $V$ 中线性变换 $\mathscr{A}$ 在两组基
\[
  \begin{aligned}
      \symbb{B}&= ( \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}), \\
        \symbb{B}'&= ( \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n})
    \end{aligned}
\]
下的矩阵分别为 $ A$ 和 $ B$, 从基 $\symbb{B}$ 到 $\symbb{B}'$ 的过渡矩阵是 $ X$, 
那么 $ B= X^{-1}  A  X$.
\end{theorem}
\begin{proof}
  我们有
  \begin{align*}
      \sA(\symbb{B}')=\sA(\symbb{B} X)=\sA(\symbb{B}) X=\symbb{B} A X =\symbb{B}' X^{-1} A X.
      \end{align*}
      因此$B=X^{-1}AX$.
  \end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}{方阵的相似}
上述定理告诉了我们同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系。
这个基本关系在以后的讨论中是重要的。 下面是这个关系的矩阵版本。
\begin{definition}
  设 $ A,  B\in P^{n\times n}$.
如果存在$ X\in \GL_n(P)$, 
使得 $ B= X^{-1}  A  X$,
那么我们说 $ A$ \emph{相似} (similar) 于  $ B$, 记作 $ A \sim  B$.
\end{definition}
相似是方阵之间的一种等价关系：

\begin{enumerate}
    \item 自反性： $ A \sim  A$.
    这是因为 $ A= E^{-1}  A E$.
    \item 对称性： 如果 $ A \sim  B$, 那么 $ B \sim  A$.
    如果 $ A \sim  B$, 那么有 $ X$ 使 $ B= X^{-1}  A X$. 令 $ Y= X^{-1}$, 就有 $ A= X  B  X^{-1}= Y^{-1}  B  Y$, 所以 $ B \sim  A$.

    \item 传递性： 如果 $ A \sim  B,  B \sim  C$, 那么 $ A \sim  C$.
    已知有 $ X,  Y$ 使 $ B= X^{-1}  A  X,  C= Y^{-1}  B  Y$. 令 $Z=X  Y$, 就有 $ C= Y^{-1}  X^{-1}  A X  Y= Z^{-1} A Z$, 因之
  $A \sim C$.
\end{enumerate}
有了矩阵相似的概念之后， 之前的定理可以补充成
\begin{theorem}
线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的。 反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。
\end{theorem}

\end{frame}

\begin{frame}


\begin{proof}
只用证明后一部分。 设 $n$ 阶矩阵 $ A$ 和 $ B$ 相似。 $ A$可以看作是 $n$ 维线性空间 $V$ 中一个线性变换 $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的矩阵。 因为 $ B=$ $ X^{-1}  A X$, 令
\[
\left( \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}\right)=\left( \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{n}\right)  X
\]
那么 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{n}$ 也是一组基， 且 $\mathscr{A}$ 在这组基下的矩阵就是 $ B$. 
\end{proof}
矩阵的相似有如下的运算性质。
\begin{observation*}
如果 $ B_{1}= X^{-1}  A_{1}  X,  B_{2}= X^{-1}  A_{2}  X$, 那么
\[
 B_{1}+ B_{2}= X^{-1}\left( A_{1}+ A_{2}\right)  X, \quad  B_{1}  B_{2}= X^{-1}\left( A_{1}  A_{2}\right)  X .
\]
由此可知， 如果 $ B= X^{-1}  A  X$, 且 $f(x)\in P[x]$, 那么
\[
f( B)= X^{-1} f( A)  X .
\]
\end{observation*}
利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算。



\end{frame}

\begin{frame}%{借助相似计算举例}
  \begin{example}
  设 $V$ 是数域 $P$ 上一个二维线性空间， $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ 是一组基，线性变换 $\sA$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$下的矩阵是

  \[
    A=\begin{pmatrix}
      2 & 1 \\
    -1 & 0
\end{pmatrix}.
\]
现在来计算 $\mathscr{A}$ 在 $V$ 的另一组基 $ \eta_{1},  \eta_{2}$ 下的矩阵，这里
\[
  \left( \eta_{1},  \eta_{2}\right)=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)X, \quad
      \text{其中}~X= \begin{pmatrix}
    1 & -1 \\
  -1 & 2
\end{pmatrix}.
\]
（我们会在学习Jordan标准型时了解到这组基是如何想到的。）
$\mathscr{A}$ 在 $ \eta_{1},  \eta_{2}$ 下的矩阵为 
%\[
%  \begin{aligned}
%    \begin{pmatrix}
%      1 & -1 \\
%    -1 & 2
%\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
%  2 & 1 \\
%-1 & 0
%\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
%  1 & -1 \\
%-1 & 2
%\end{pmatrix} 
%= & \begin{pmatrix}
%  2 & 1 \\
%1 & 1
%\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
%  2 & 1 \\
%-1 & 0
%\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
%  1 & -1 \\
%-1 & 2
%\end{pmatrix} \\
%= & \begin{pmatrix}
%  3 & 2 \\
%1 & 1
%\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
%  1 & -1 \\
%-1 & 2
%\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
%  1 & 1 \\
%0 & 1
%\end{pmatrix}.
%\end{aligned}
%\]
  $X^{-1}AX= A_1$, 其中
  \[
    A_1=\begin{pmatrix}
    1 & 1 \\
  0 & 1
\end{pmatrix}, \quad \text{且易知} \quad
  A_1^{k}=\begin{pmatrix}
  1 & k \\
0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
由$A=XA_1X^{-1}$知
\[
  A^k=X A_1^k X^{-1} =\begin{pmatrix}
  k+1 & k \\
-k & -k+1
\end{pmatrix} .
\]
\end{example}
\end{frame}

%\begin{frame}
%  \addtocounter{theorem}{-1}
%  \begin{example}[续]
%再利用上面得到的关系
%\[
%  \begin{pmatrix}
%    1 & -1 \\
%  -1 & 2
%\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}
%  2 & 1 \\
%-1 & 0
%\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
%  1 & -1 \\
%-1 & 2
%\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
%  1 & 1 \\
%0 & 1
%\end{pmatrix},
%\]
%即
%\[
%  \begin{pmatrix}
%    2 & 1 \\
%  -1 & 0
%\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
%  1 & -1 \\
%-1 & 2
%\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
%  1 & 1 \\
%0 & 1
%\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
%  1 & -1 \\
%-1 & 2
%\end{pmatrix}^{-1}
%\]
%我们可以得到
%\[
%  \begin{aligned}
%    \begin{pmatrix}
%      2 & 1 \\
%    -1 & 0
%\end{pmatrix}^{k} & =\begin{pmatrix}
%  1 & -1 \\
%-1 & 2
%\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
%  1 & 1 \\
%0 & 1
%\end{pmatrix}^{k}\begin{pmatrix}
%  1 & -1 \\
%-1 & 2
%\end{pmatrix}^{-1} \\
%& =\begin{pmatrix}
%  1 & -1 \\
%-1 & 2
%\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
%  1 & k \\
%0 & 1
%\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
%  2 & 1 \\
%1 & 1
%\end{pmatrix} \\
%& =\begin{pmatrix}
%  1 & k-1 \\
%-1 & 2-k
%\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
%  2 & 1 \\
%1 & 1
%\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
%  k+1 & k \\
%-k & -k+1
%\end{pmatrix} .
%\end{aligned}
%\]
%\end{example}
%
%
%\end{frame}

\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 线性变换的矩阵何来？
    \item 线性变换的运算如何与矩阵的运算相对应？
    \item 相似性如何可简化矩阵的运算？
  \end{enumerate}
\end{frame}
